Értelmezési tartomány ($D_f$) vizsgálata:

• Törtek: A nevező sosem lehet 0. Meg kell keresni azokat az $x$ értékeket, amik kinullázzák a nevezőt, és ezeket ki kell zárni.
• Páros gyökök (pl. négyzetgyök): A gyök alatt csak nemnegatív (nulla vagy pozitív) kifejezés állhat.
• Logaritmus (pl. $\ln x$): A logaritmus argumentuma szigorúan csak pozitív lehet (tehát $x > 0$).

Szélsőérték vizsgálat

• Első derivált: Kiszámoljuk a függvény első deriváltját, az $f'(x)$-et.
• Stacionárius pontok: Keresünk olyan $x$ értékeket, ahol a meredekség vízszintes, azaz megoldjuk az $f'(x) = 0$ egyenletet.
• Minősítés: A kapott "gyanús" pontokat ellenőriznünk kell. Ezt legegyszerűbben a második deriváltba ($f''(x)$) való behelyettesítéssel tehetjük meg:
  • Ha $f''(x) > 0$ az adott pontban, akkor ott helyi minimum van.
  • Ha $f''(x) < 0$ az adott pontban, akkor ott helyi maximum van.
  • Ha $f''(x) = 0$ az adott pontban NEM tudjuk megmondani. Nézzük az előjel váltást $f'(x)$ függvénynél!
  • Ha a stacionárius pont előtt $f'(x) > 0$ (a függvény nő), utána pedig $f'(x) < 0$ (a függvény csökken), akkor a "hegy" tetején vagy: a pont helyi maximum.
  • Ha a stacionárius pont előtt $f'(x) < 0$ (csökken), utána pedig $f'(x) > 0$ (nő), akkor a "völgy" alján vagy: a pont helyi minimum.
  • Ha az első derivált nem vált előjelet (például előtte is nő és utána is nő, mint az $x^3$ esetében), akkor ott nincs szélsőérték, az a pont csak egy inflexiós pont (teraszpont).

Konvexitás és inflexiós pontok vizsgálata

• Lehetséges inflexiós pontok: Megoldjuk az $f''(x) = 0$ egyenletet. Ezek a pontok lesznek a határok a konvex és konkáv szakaszok között.
• Előjelvizsgálat intervallumokon: A kapott pontok (és az értelmezési tartomány szakadásai) alapján felosztjuk a számegyeneseket intervallumokra, és megnézzük a második derivált előjelét:
  • Ha egy szakaszon $f''(x) > 0$, akkor a függvény ott konvex (mosolyog).
  • Ha egy szakaszon $f''(x) < 0$, akkor a függvény ott konkáv (szomorú).
  • Ahol a második derivált előjelet vált (például pluszból mínuszba megy át), az a pont az inflexiós pont.

1. Az irányvektor ellenőrzése és normálása: Az iránymenti derivált kiszámításához a képlet szigorúan egy egységvektort (olyan vektort, amelynek a hossza pontosan 1) követel meg.

   A vektor hossza $|\mathbf{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}$. Ha ez nem 1, akkor el kell osztanod a vektor mindkét koordinátáját ezzel a hosszal, hogy megkapd az $\mathbf{e}$ egységvektort: $\mathbf{e} = \frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}$.

2. A parciális deriváltak kiszámítása (gradiens)

   $\text{grad} f(P) = (f_x'(P), f_y'(P))$

   • Ez a legmeredekebb emelkedő iránya
   • A meredekség nagysága: A gradiens vektor hossza megadja, hogy pontosan mekkora ez a maximális meredekség.
   • Merőleges a szintvonalakra: Ha a hegyoldalban sétálsz úgy, hogy nem mész se fel, se le (szintvonalon haladsz), a gradiens vektor erre az útvonalra mindig pontosan merőleges lesz.
3. A gradiens vektor kiszámítása az adott pontban: Helyettesítsd be a megadott $P_0(x_0, y_0)$ pont koordinátáit a 2. lépésben kapott parciális deriváltakba.
4. A skaláris szorzat elvégzése: $f_e'(P_0) = f_x'(P_0)e_1 + f_y'(P_0)e_2$

1. Az irányszög átalakítása egységvektorrá

   $\mathbf{e} = (\cos\alpha, \sin\alpha)$

2. A parciális deriváltak kiszámítása (gradiens)
3. A gradiens vektor kiszámítása az adott pontban
4. A skaláris szorzat elvégzése

   $f'_e(P_0) = f_x'(P_0) \cdot \cos\alpha + f_y'(P_0) \cdot \sin\alpha$

A teljes differenciál azt mutatja meg, hogy ha az adott pontból egy egészen pici $dx$ lépést teszel az $X$ tengely mentén, és egy pici $dy$ lépést az $Y$ tengely mentén, akkor közelítőleg mennyivel fog megváltozni a magasságod (a függvényérték).

A teljes differenciál képlete egy kétváltozós $f(x,y)$ függvény esetén a $P_0(x_0, y_0)$ pontban:

$df = f_x'(P_0) \cdot dx + f_y'(P_0) \cdot dy$

1. A parciális deriváltak általános kiszámítása
2. Behelyettesítés a megadott pontban
3. A teljes differenciál felírása (a képlet összerakása)

Az érintősík (tangent plane)

Az érintősík általános egyenlete így néz ki:

$z - z_0 = f_x'(x_0, y_0) \cdot (x - x_0) + f_y'(x_0, y_0) \cdot (y - y_0)$

1. A magasság ($z_0$ függvényérték) kiszámítása: Helyettesítsd be a pontot az eredeti függvénybe!
2. A parciális deriváltak általános kiszámítása
3. Behelyettesítés a deriváltakba
4. Az érintősík egyenletének összerakása a képlet szerint

A stacionárius pontok azok a jelölt pontok, ahol a függvény "vízszintes", azaz a meredeksége (deriváltja) nulla.

I. Egyváltozós függvények $f(x)$ szélsőértékének számítása

1. Az első derivált kiszámítása: $f'(x)$
2. Stacionárius pontok keresése: $f'(x) = 0$
3. A pontok minősítése (Második derivált teszt):
   • Ha $f''(x) > 0$, akkor a függvény ott "mosolyog" (konvex), tehát helyi minimuma van.
   • Ha $f''(x) < 0$, akkor a függvény "szomorú" (konváv), tehát helyi maximuma van.
   • Ha $f''(x) = 0$, akkor további vizsgálat (pl. előjelváltás ellenőrzése) szükséges, mert lehet, hogy csak egy inflexiós pontról van szó.

$ax \equiv b \pmod m$

$d = \text{lnko}(a, m)$ legnagyobb közös osztója

• Ha $d$ nem osztója a $b$-nek, akkor az egyenletnek nincs megoldása.
• Ha $d$ osztója a $b$-nek, akkor a kongruencia megoldható.

$d$ darab úgynevezett inkongruens megoldása van.

Speciális, de nagyon gyakori eset, ha az $a$ és az $m$ relatív prímek, azaz $\text{lnko}(a, m) = 1$. Ilyenkor az egyenletnek pontosan egy (egyedi) megoldása van modulo $m$.

1. Képlet alapján: Ha $\text{lnko}(a, m) = 1$, akkor az egyedi megoldást az $x \equiv b \cdot a^{\varphi(m)-1} \pmod m$ képlettel lehet kiszámolni, ahol $\varphi(m)$ az Euler-féle függvény.

A fő képlet

Ha egy $m$ számot felírunk a prímhatványok szorzataként (kanonikus alakban), azaz $m = p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdot \dots \cdot p_r^{\alpha_r}$, akkor a $\varphi(m)$ értéke a következőképpen számolható ki:

$\varphi(m) = (p_1^{\alpha_1} - p_1^{\alpha_1 - 1}) \cdot (p_2^{\alpha_2} - p_2^{\alpha_2 - 1}) \cdot \dots \cdot (p_r^{\alpha_r} - p_r^{\alpha_r - 1})$

Trükk: Ha a szám prím ($p$)

Szabály: $\varphi(p) = p - 1$

Példa: $\varphi(7) = 6$, mert az 1, 2, 3, 4, 5, 6 mind relatív prím a 7-tel.

Trükk: Ha a szám egyetlen prím valahányadik hatványa ($p^k$)

Szabály: $\varphi(p^k) = p^k - p^{k-1}$

Példa: $\varphi(8) = \varphi(2^3)$. A szabály alapján: $2^3 - 2^2 = 8 - 4 = 4$. (Valóban: az 1, 3, 5, 7 relatív prím a 8-hoz).

Trükk: Bármilyen összetett szám esetén (A "Szétválasztós" trükk)

Ha a szám több különböző prím szorzata, akkor a függvény multiplikatív.

Szabály: Ha $a$ és $b$ relatív prímek, akkor $\varphi(a \cdot b) = \varphi(a) \cdot \varphi(b)$.

A Fermat-tételen alapuló valószínűségi módszer.

1. Számválasztás: Válasszunk egy tetszőleges $a$ számot, amelyre igaz, hogy $1 < a < n$
2. Közös osztó vizsgálata: Határozzuk meg $a$ és $n$ legnagyobb közös osztóját ($gcd(a, n)$). Ha $gcd(a, n) > 1$, akkor $n$ biztosan nem prím.
   1. Oszd el a nagyobb számot a kisebbel, és írd fel a maradékot!
   2. Ha a maradék 0, akkor meg is vagyunk: a kisebb szám (az osztó) a legnagyobb közös osztó.
   3. Ha a maradék nem 0, akkor "csúsztasd el" a számokat: a korábbi osztó lesz az új osztandó, és a korábbi maradék lesz az új osztó. Végezd el velük is a maradékos osztást!
   4. Ismételd a csúsztatást addig, amíg a maradék 0 nem lesz. Az utolsó nem nulla maradék a keresett legnagyobb közös osztó.
3. Fermat-teszt: Ellenőrizzük az $a^{n-1} \equiv 1 \pmod n$ kongruenciát. Ha ez az állítás nem teljesül, akkor $n$ biztosan nem prím.

   A Fermat-féle kis tétel azt mondja ki, hogy: HA egy $n$ szám prím, AKKOR biztosan teljesül, hogy $a^{n-1} \equiv 1 \pmod n$.

   A probléma az, hogy ennek az állításnak a megfordítása nem igaz! Léteznek úgynevezett "álprímek" vagy pszeudoprímek, amelyek átmennek a teszten, pedig összetett számok.